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Laplace Experiment: Regel, Beispiele, Aufgaben

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In diesem Lerntext erklären wir dir alles zum Thema Laplace-Experimente , eine Art von Zufallsexperimenten, die du aus deinem Mathematikunterricht schon kennen wirst. Du wirst schnell verstehen, wie du bei dieser Art von Zufallsversuchen rechnest. Am Ende kannst du dein erlerntes Wissen zu Laplace und Wahrscheinlichkeiten in Aufgaben weiter vertiefen und kontrollieren.

Ein Laplace Experiment ist eigentlich nichts anderes als das, was du in deinem Matheunterricht als Zufallsversuch kennenlernst - mit einer kleinen Einschränkung: Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind . Typische Beispiele bei Laplace sind in der Regel das Werfen einer Münze oder eines gewöhnlichen Würfels. Das Besondere an diesen Versuchen ist, dass sie uns das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten vereinfachen. In Laplace-Experimenten gilt die Regel:

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}$

Wir müssen also einfach die Anzahl der Ergebnisse, die gewünscht sind, durch die Anzahl aller Ergebnisse dividieren.

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind.

Wie du siehst, ist die Rechnung für dich nicht neu. Und das ist nicht verwunderlich, da die allermeisten Zufallsexperimente, die du bis jetzt kennengelernt hast, Laplace-Experimente sind. Im Lerntext Zufallsversuche - Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen berechnen kannst du nochmal alles Weitere dazu nachlesen.

Gut zu wissen

Pierre-Simon Laplace war ein französischer Mathematiker und Physiker, der um 1800 zu den Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Differentialgleichungen forschte. Der Name Laplace kann dir in deinem Mathematikunterricht noch öfter begegnen.

Betrachten wir nun einige Beispiele, um den Unterschied zwischen Laplace-Experimenten und anderen Zufallsversuchen zu verstehen.

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Das erste "Laplace-Beispiel" ist ein wirklicher Klassiker in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: das einmalige Werfen eines Würfels. Ein normaler Würfel hat sechs Seiten, die mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, gewürfelt zu werden.

Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von

$P(E) = \frac {1}{6} \approx 16,7 \%$

gewürfelt.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "eine gerade Zahl würfeln":

Ereignis: "eine gerade Zahl würfeln"

Ereignismenge: $E= \{2, 4, 6\}$

$P (E) = \frac {3}{6} = \frac {1}{2}~~\widehat{=}~~50 \%$

Weitere Beispiele

Im folgenden Beispielkasten siehst du noch zwei weitere Beispiele, die dir beim Thema Laplace in Wahrscheinlichkeitsrechnung in Mathe begegnen können:

• Das Werfen einer Münze: Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl liegt jeweils bei $50 \%$
• Das Drehen dieses Glücksrades: Jedes Feld hat eine Wahrscheinlichkeit von $ \frac {1}{6} \approx 16,7 \%$

Schauen wir uns einmal an, welche Art von Zufallsversuch kein Laplace-Experiment ist. Es gibt einige Zufallsversuche, bei denen nicht alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Dazu gehören beispielsweise Würfel, bei denen eine bestimmte Zahl auf mehr als einer Seite abgebildet ist oder das Werfen einer Reißzwecke, die auf Grund ihrer Form nicht auf jeder Seite gleich wahrscheinlich liegen bleibt.

Nun weißt du, was ein Laplace-Experiment in Mathe ist, welche Regeln bei Laplace gelten und wie du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten bestimmen kannst. Vertiefe dein Wissen zu Laplace und Wahrscheinlichkeit in unseren Aufgaben . Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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Was ist ein Laplace-Experiment?

Ein Los aus einem Topf ziehen mit 33 Gewinnen und 33 Nieten

Ein Los aus einem Topf ziehen mit 8 Gewinnen und 20 Nieten

Schreiben einer Klassenarbeit

Welche Rechenregel gilt bei einem Laplace-Versuch?

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}$

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}$

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ möglichen\ Ergebnisse}{Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse} \cdot 100\ %$

Markiere die richtigen Aussagen!

Die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu treffen liegt bei 25%.

Es handelt sich bei dem Versuch um kein Laplace Experiment.

Das Werfen einer Münze ist ein Laplace Experiment.

Was ist kein Laplace-Experiment?

Wahl zum Klassensprecher

Werfen eines Würfels

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel

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Laplace Experiment

In diesem Artikel dreht sich alles um Laplace . Von der Laplace Wahrscheinlichkeit bis hin zum Laplace Würfel wird dir alles zu Laplace Experimenten erklärt.

Du möchtest wissen:  Was ist ein Laplace Experiment ? In unsrem Video erfährst du bequem und einfach was genau es bedeutet, wenn einem Zufallsexperiment die Laplace Bedingung zugrunde liegt.

Laplace Experiment Definition

Laplace wahrscheinlichkeit, laplace experiment aufgaben, laplace experiment — häufigste fragen, wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle elementaren Ergebnisse die selbe Wahrscheinlichkeit haben. Die dazugehörige Laplace Wahrscheinlichkeit wird mit der Laplace Formel berechnet, welche sich durch die Division der Anzahl des Ereignisses durch alle möglichen Ergebnisse ergibt.

Laplace Experiment Erklärung

Generell unterscheidet man in der Statistik unterscheidet verschiedene Spezialfälle von Wahrscheinlichkeiten. Einer dieser Sonderfälle ist die Laplace Wahrscheinlichkeit . Diese liegt den dazugehörigen Laplace Experimenten zugrunde und setzt voraus, dass alle elementaren Ergebnisse des Zufallsexperimentes die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Einfach gesagt, muss jedes mögliches Szenario gleich wahrscheinlich sein, damit von Laplace die Rede sein kann.

Laplace Experiment Beispiele

Das gängigste Beispiel für einen Laplace Versuch ist das Werfen eines ungezinkten Würfels. Ungezinkt bedeutet, dass dieser nicht manipuliert ist und, dass alle sechs Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden. Bei einem Laplace Würfel fällt die 1 also genau gleich oft wie die 6, wenn man unendlich oft würfeln würde. Weitere Beispiele sind das Werfen einer Münze oder das drehen an einem Glücksrad. Die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen beträgt dann nämlich jeweils genau 50%. Bei dem letzteren Beispiel muss zusätzlich beachten werden, dass alle möglichen Felder gleich häufig vorkommen müssen, damit die Laplace Bedingung erfüllt ist.

Du weist jetzt, dass jedem Laplace Experiment die Laplace Wahrscheinlichkeit zugrunde liegt. Die Bedingung, dass alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind muss also erfüllt sein. Aber woher weiß man, ob diese Grundbedingung gegeben ist oder nicht?

Kein Laplace Experiment?

Wenn du also die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bestimmen sollst, prüfe zunächst ob es sich bei dem Zufallsexperiment überhaupt um einen Laplace Versuch handelt oder nicht. Hier spricht man auch vom sogenannten Elementarereignis ω , also einem Ereignis, für das die Eintrittswahrscheinlichkeit immer gleich hoch ist. Es gilt:

Laplace Formel

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace Experiment für ein Ereignis A durch die Laplace Formel wie folgt definiert:

Abschließend schauen wir uns noch zwei praktische Beispiele von Laplace Experimenten an. So wird deutlich wie man die Wahrscheinlichkeit dieser Zufallsexperimente einfach mit der Laplace Formel berechnen kann.

Laplace Würfel

Laplace Experiment Beispiel: Roulette

Die Wahrscheinlichkeit eine rote Zahl zu würfeln liegt also bei ungefähr 49%.

Das war auch schon alles Wichtige ! Zur Wiederholung hier nochmal die zentrale Formel:

• Was ist ein Laplace Experiment? Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, einzutreffen. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Wurf eines Würfels. Jede Augenzahl hat dieselbe Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden, nämlich 1/6.   
• Was ist die Laplace Formel? Die Laplace Formel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (E) im Laplace Experiment. Wenn die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse n ist, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit P(E) = 1/n.  
• Wie läuft ein Laplace Versuch ab? In einem Laplace Versuch (Experiment) müssen alle möglichen Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit stattfinden. Das heißt, dass jedes zufällige Ergebnis gleich hohe Chancen hat, einzutreffen. Ein typisches Beispiel für ein Laplace Versuch ist der Wurf eines fairen Würfels.

Neben dem Laplace Experiment gibt es noch andere Zufallsexperimente. Wie du dann die Wahrscheinlichkeit berechnest , erfährst du hier!

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• Laplace Experiment

In der Welt der Mathematik ist das Laplace-Experiment ein zentraler Aspekt der Wahrscheinlichkeitsrechnung . Die Einführung in das Laplace Experiment bietet eine detaillierte Erklärung für das Verständnis von Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten. Hier erhältst du eine präzise Definition, die Unterschiede zwischen Laplace und Nicht-Laplace Experimenten sowie konkrete Beispiele. Weiterführend gibt es Informationen zur Berechnung von Ereignissen im Laplace Experiment, die Anwendung der Formel und wie man ein solches Experiment mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellt. Schließlich werden alle Merkmale eines Laplace Experiments im Überblick dargestellt. Ein wissensreicher und informativer Start in die Welt der empirischen Wahrscheinlichkeit .

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Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, bei dem mehrere Ergebnisse gültig sind, in einem Laplace-Experiment?

Was würde die Wahrscheinlichkeit für die Aufgabe, eine gerade Zahl oder eine 5 bei einem Würfelwurf zu bekommen, sein?

Was ist ein Baumdiagramm in Bezug auf ein Laplace Experiment?

Was ist ein Nicht-Laplace Experiment?

Was sind die Merkmale eines Laplace Experiments?

Wie viele Endpunkte hat ein Baumdiagramm im Fall von zwei Würfen zweier Würfel?

Was ist ein Laplace Experiment?

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace Experiment?

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Was steht "P(E)" in der Formel P(E) = 1/n für?

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Einführung in das Laplace Experiment

Was ist ein laplace experiment: definition.

Ein Laplace Experiment ist ein zufälliges Experiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Das bedeutet, dass jedes Ereignis die gleiche Chance hat, ein Ergebnis des Experiments zu sein. Ein klassisches Beispiel für ein Laplace Experiment ist der Wurf eines fairen Würfels. Jeder der sechs möglichen Ausgänge (1, 2, 3, 4, 5, 6) hat die gleiche Wahrscheinlichkeit .

Wenn du beispielsweise einen fairen Würfel wirfst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine "6" zu würfeln, \( P(E) = \frac{1}{6} \), da es sechs mögliche Ergebnisse gibt, und jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich.

Unterschied zwischen Laplace und Nicht-Laplace Experiment

Ein Nicht-Laplace Experiment ist ein zufälliges Experiment, bei dem die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen möglichen Ereignisse nicht gleich sind. Hier variiert die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen möglichen Ergebnisse.

Beispiele für Laplace Experimente und Nicht-Laplace Experimente

Nehmen wir das Beispiel der Auswahl einer Person aus einer Gruppe. Hierbei spricht man von einem Nicht-Laplace Experiment, weil das Geschlecht, das Alter oder andere Faktoren die Auswahl beeinflussen können und daher nicht alle Personen die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit haben.

Das Verständnis des Unterschieds zwischen Laplace und Nicht-Laplace Experimenten ist essenziell, wenn du dich mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigst. Es hilft dabei, realistische Annahmen zu treffen und statistische Modelle auf reale Situationen anzuwenden.

Berechnung des Laplace Experiments

Anwendung der formel im laplace experiment.

Die Formel bedeutet also: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace Experiment ist gleich dem Kehrwert der Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Wenn du beispielsweise eine Spielkarte aus einem gemischten Kartenspiel mit 52 Karten ziehst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen König handelt, \( P(E) = \frac{1}{13} \). Denn das Deck hat vier Könige und 52 mögliche Karten, die gezogen werden können.

Praktische Laplace Experiment Aufgaben und Lösungen

• Für Aufgabe 1: Ein Kartenspiel enthält 52 Karten, von denen 13 Herzkarten sind. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ziehung ein Herz ist, \( P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \).
• Für Aufgabe 2: Ein Würfel hat sechs Seiten, und zwei davon sind 2 und 4. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 2 oder 4 zu würfeln, \( P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Theorie und Praxis gehen Hand in Hand. Indem du Beispielaufgaben löst, vertiefst du dein Verständnis für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in einem Laplace Experiment.

Berechnung von Ereignissen im Laplace Experiment

Wenn mehrere Ergebnisse für ein Ereignis gültig sind, addiere die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse. Zum Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl beim Würfeln zu bekommen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, eine 2, 4 oder 6 zu würfeln.

Für eine Aufgabe, in der wir die Wahrscheinlichkeit berechnen sollen, eine gerade Zahl oder eine 5 zu würfeln, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses "gerade Zahl würfeln" und des Ereignisses "5 würfeln". Diese Berechnung würde folgendermaßen aussehen: \( P(E) = P(\text{2 oder 4 oder 6}) + P(\text{5}) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Darstellung des Laplace Experiments

Einsatz des baumdiagramms im laplace experiment.

Ein Baumdiagramm ist ein grafisches Werkzeug, das verwendet wird, um alle möglichen Ergebnisse eines Experiments zu zeigen. Dabei repräsentiert jeder Ast des Baums eine mögliche Entscheidung oder ein mögliches Ergebnis.

Angenommen, du würdest eine faire Münze zweimal hintereinander werfen. Du würdest mit einem Ausgangspunkt beginnen und von dort aus zwei Linien zeichnen, eine für "Kopf" und eine für "Zahl". Von jedem dieser Punkte aus würdest du erneut zwei Linien zeichnen, wieder jeweils eine für "Kopf" und "Zahl". So endest du mit vier Endpunkten, die für die vier möglichen Ergebnisse des Experiments stehen: Kopf-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Kopf und Zahl-Zahl. An jeder Linie würde dann noch die jeweilige Wahrscheinlichkeit stehen, also im Falle unserer fairen Münze immer \( \frac{1}{2} \) für jeden Zweig.

Laplace Experiment Beispiele mit Baumdiagrammen

Die Anzahl der Endpunkte in einem Baumdiagramm für ein Laplace Experiment entspricht der Anzahl der möglichen Ausgänge des Experiments. Sie gibt also die Anzahl der Ereignisse im Ereignisraum an.

Merkmale eines Laplace Experiments: Ein Überblick

Wenn du eine faire Münze wirfst, sind diese Eigenschaften alle sichtbar. Die zwei möglichen Ergebnisse (Kopf oder Zahl) sind gleich wahrscheinlich, deine Wahl ist zufällig und unabhängig von vorherigen oder nachfolgenden Würfen und es gibt eine begrenzte Anzahl an möglichen Ausgängen (nämlich zwei).

Ein tieferes Verständnis der Merkmale eines Laplace Experiments hilft dir, die Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung besser zu begreifen und korrekt anzuwenden.

Laplace Experiment - Das Wichtigste

• Laplace Experiment: zufälliges Experiment, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind
• Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace Experiment: P(E) = 1/n
• Unterschied Laplace zu Nicht-Laplace Experiment: Bei einem Nicht-Laplace Experiment sind nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich
• Beispiele: Wurf eines fairen Würfels (Laplace), Wurf eines gezinkten Würfels (Nicht-Laplace)
• Berechnung von Ereignissen: Bei mehreren gültigen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten dieser addieren
• Baumdiagramm: Visualisierung aller potenziellen Ergebnisse und ihrer Wahrscheinlichkeiten
• Merkmale eines Laplace Experiments: Gleichwahrscheinlichkeit, Zufälligkeit, Unabhängigkeit, begrenzte Anzahl an Ausgängen

Karteikarten in Laplace Experiment 12

Du addierst die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse, indem du jeweils die Formel P(E) = 1/n anwendest.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/3, weil du die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse "gerade Zahl würfeln" und "5 würfeln" addierst.

Ein Baumdiagramm ist ein Diagramm, das den Verlauf von Experimenten zeigt, bei denen mehrere Ereignisse aufeinanderfolgen oder gleichzeitig auftreten können. Jeder Zweig des Diagramms entspricht einem möglichen Ergebnis. Dies erlaubt es, eine klare visuelle Darstellung aller potenziellen Ergebnisse und ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu liefern.

Ein Nicht-Laplace Experiment ist ein zufälliges Experiment, bei dem die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen möglichen Ereignisse nicht gleich sind, und die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Ergebnisse variiert.

In einem Laplace Experiment gibt es Gleichwahrscheinlichkeit (jedes Ereignis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit), Zufälligkeit (das Ergebnis ist zufällig und kann nicht im Voraus bestimmt werden), Unabhängigkeit (die einzelnen Ereignisse sind unabhängig voneinander) und eine begrenzte Anzahl an Ausgängen.

Ein Baumdiagramm für zwei Würfe zweier Würfel hätte 36 Endpunkte, da es 36 Möglichkeiten gibt, zwei Zahlen zu würfeln.

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Laplace-Experiment & Laplace-Wahrscheinlichkeit

Hast du dich schon einmal gefragt, wie du die Wahrscheinlichkeit von bestimmten Ereignissen berechnest? Die Laplace-Wahrscheinlichkeit bietet eine der wichtigsten Möglichkeiten, um solche Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Aber welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit du mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit rechnen darfst?

simpleclub zeigt dir alles, was du über Laplace-Experimente und Laplace-Wahrscheinlichkeiten wissen musst.

Laplace-Experiment einfach erklärt

Ein prototypisches Beispiel für ein Laplace-Experiment ist das einmalige Werfen mit einem Würfel.

Ein Laplace-Experiment ist einfach ein Zufallsexperiment mit der Zusatzbedingung, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Das Würfeln ist zum Beispiel ein Laplace-Experiment , da es ein normales Zufallsexperiment ist und zusätzlich alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A A A A bei einem Laplace-Experiment .

Dabei teilst du die Anzahl der Elemente , die zu diesem Ereignis führen, durch die Gesamtanzahl an Möglichkeiten.

Laplace-Experiment Definition

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Laplace-Wahrscheinlichkeit Definition

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses A A A A durch:

Laplace-Experiment

Ein Laplace Experiment ist also nichts anderes als ein normales Zufallsexperiment mit zusätzlicher Einschränkung.

Bei einem Zufallsexperiment sind immer drei Merkmale erfüllt:

• Der Ausgang des Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar .
• Das Zufallsexperiment hat mehrere Ausgänge (sogenannte Ergebnisse).
• Das Zufallsexperiment kann beliebig oft wiederholt werden.

Für ein Laplace-Experiment muss zusätzlich gegeben sein:

Dies vereinfacht das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten erheblich. Deshalb werden dir Laplace Experimente in der Schule häufig begegnen.

Typische Alltagsbeispiele sind das Werfen eines normalen Würfels, das Ziehen einer bestimmten Karte aus einem Kartendeck oder andere Situationen, in denen der Ausgang aller Ergebnisse genau gleich wahrscheinlich ist.

Alle Zufallsexperimente, bei denen nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, sind keine Laplace Experimente !

Zum Beispiel ist das Drehen des folgenden Glücksrads kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit

Du kannst die Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments berechnen, wenn du die Anzahl der Ergebnisse zu einem Ereignis durch die Gesamtanzahl an Möglichkeiten teilst.

Beim einmaligen Werfen eines handelsüblichen Würfels gehören zu dem Ereignis G G G G : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt die Ergebnisse 2 2 2 2 , 4 4 4 4 und 6 6 6 6 . Die Anzahl an Möglichkeiten zu dem Ereignis G G G G sind also 3 3 3 3 .

Mathematisch ausgedrückt ist das die Mächtigkeit des Ereignisses G G G G . Du sagst also Ereignis G G G G besitzt die Mächtigkeit 3 3 3 3 .

Das schreibst du dann mit Betragsstrichen um das Ereignis:

Es können insgesamt die Zahlen 1 1 1 1 bis 6 6 6 6 gewürfelt werden.

Die Anzahl aller Ergebnisse im Ergebnisraum ist die Mächtigkeit des Ergebnisraum .

Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses G G G G , also P(G) P ( G ) P(G) P ( G ) , nun durch die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen. Dazu teilst du die Mächtigkeit des Ereignisses durch die Mächtigkeit des Ergebnisraums .

Mit der Karteikartenfunktion kannst du deine Vokabeln, Definitionen oder andere Themen, die du auswendig lernen musst, einfach einscannen.

Pasch würfeln

Jan und ein Freund würfeln in einem Café mit zwei Würfeln darum, wer von ihnen den nächsten Kaffee bezahlen muss.

Bei einem Pasch (beide Würfel zeigen dieselbe Augenzahl) ist Jan an der Reihe, bei allen anderen Würfen muss sein Freund bezahlen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass Jan den nächsten Kaffee bezahlen muss.

Es handelt sich um ein Laplace Experiment , da alle möglichen Würfe gleich wahrscheinlich sind.

Es gibt 6 Möglichkeiten , einen Pasch zu würfeln (also 6 gewünschte Ergebnisse ):

Insgesamt gibt es 36 mögliche Ergebnisse , da mit zwei Würfeln 36 verschiedene Kombinationen möglich sind:

Du berechnest nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jan Kaffee holen muss, indem du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse (einen Pasch) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst:

Karte ziehen

In einem gewöhnlichen Skatdeck befinden sich insgesamt 32 Karten .

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen einen Buben aus dem Deck zu ziehen?

Wieder handelt es sich um ein Laplace Experiment , da die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte zu ziehen bei jeder Karte genau gleich groß ist.

Es gibt vier Buben in dem Kartendeck, also ist dies auch die Anzahl der gewünschten Ergebnisse :

Insgesamt sind 32 Karten im Kartendeck, also können auch 32 verschiedene Karten gezogen werden. Somit gibt es 32 mögliche Ergebnisse :

Nun berechnest du die Gesamtwahrscheinlichkeit einen Buben zu ziehen , indem du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse (ein Bube wird gezogen) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst:

Zusammenfassung

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment , bei dem zusätzlich alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis A A A A , indem du die Anzahl der günstigen Möglichkeiten durch die Gesamtmöglichkeiten teilst.

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Laplace-Experiment

Ein Zufallsexperiment wird Laplace-Experiment genannt, wenn alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind.

Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A :

\( \large{ P(A)\;=\;\dfrac{\mathrm{Anzahl\; der\; g\ddot{u}nstigen\; Ergebnisse}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; m\ddot{o}glichen\; Ergebnisse}} } \)

Laplace-Experiment — Ja oder Nein?

Beispiele für Laplace-Experimente sind:

• Werfen eines Würfels: die Wahrscheinlichkeit jede Zahl zu werfen beträgt 1 / 6
• Werfen einer Münze: die Wahrscheinlichkeit entweder Kopf oder Zahl zu werfen beträgt 1 / 2
• Eine Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten ziehen: die Wahrscheinlichkeit jeder Karte beträgt 1 / 52
• Eine weiße Kugel aus einer mit 3 weißen und 7 grünen Kugeln zu ziehen: die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen beträgt 3 / 10

Beispiele für Experimente, die keine Laplace-Experimente sind:

• Zwei Boxer die gegeneinander in den Ring steigen. Auch wenn man meinen könnte, dass eine 50:50 Chance für den Sieg bestünde, so ist dies nicht der Fall. Ein Boxer hat eventuell mehr Kämpfe gewonnen als der andere. Auch Technik und Fähigkeiten unterscheiden sich. Ein Laplace-Experiment würde nur dann bestehen, wenn der Boxer quasi gegen sich selbst boxen würde.
• Das Werfen von Heftzwecken . Auch wenn man meinen könnte, ein Heftzweck wäre doch mehr oder weniger mit einer Münze vergleichbar – entweder er landet mit der Nadel nach ober oder mit der Nadel zum Boden hin – so sind die meisten Heftzwecke so balanciert, dass eine Option gegenüber der anderen Vorteile hat. Vorteile wiederum bedeuten Änderungen in der Wahrscheinlichkeit, was gegen ein Laplace-Experiment spricht.
• Wahl zum Klassensprecher . Bei einer Wahl fließen immer Aspekte ein, die nur wenig durchsichtig sind. Auch wenn alle Bewerberinnen und Bewerber gleich kompetent wären, so kommen noch Faktoren wie Beliebtheit und allgemeines Ansehen dazu, welche die Entscheidung beeinflussen. Daher ist dies auch kein Laplace-Experiment.

Durch materialbedingte Ungenauigkeiten kann es auch vorkommen, dass ein Würfel oder eine Münze keine exakte Wahrscheinlichkeit von 1 / 6 bzw. 1 / 2 hat. Einige Mathematikbücher sprechen daher speziell von Laplace-Würfeln bzw. Laplace-Münzen . Damit wird klargestellt, dass die Wahrscheinlichkeiten jeweils gleich sind.

Laplace-Experimente berechnen

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Würfel eine der sechs Zahlen zu werfen, beträgt 1 / 6 . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit

• die Zahl 3 zu werfen
• entweder die Zahl 3 oder die Zahl 4 zu werfen
• eine gerade Zahl zu werfen

Mit der Formel von Laplace können wir die Wahrscheinlichkeiten berechnen:

• @@ P(3) = 1/6 @@
• \( P(3 \mathrm{\; oder \;} 4) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
• \( P(\mathrm{gerade}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \)

Laplace Experiment / Versuch

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, wobei jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Dies ist zum Beispiel bei einem Würfel der Fall, da die Wahrscheinlichkeit eine eins zu würfeln genauso hoch ist, wie die restlichen Ergebnisse.

Beispiele für Laplace Experimente sind:

• Münze werfen
• Eine von 5 unterschiedlichen Kugeln ziehen

Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Laplace Experiments ist:

• |E| die Anzahl an Ergebnissen, bei denen euer Ereignis zutrifft.
• Beim Ereignis die 1 würfeln, gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich wenn der Würfel die 1 anzeigt, deshalb würde dann die 1 an der Stelle stehen.
• Beim Ereignis eine gerade Zahl würfeln, gibt es 3 Möglichkeiten, die 2, 4 und 6. Deshalb kommt dann bei diesem Beispiel eine 3 an diese Stelle. 
• |Ω| ist die Anzahl an allen möglichen Ergebnissen des Zufallsexperiments.
• Beim Würfeln wäre es 6, da es 6 mögliche Ergebnisse beim Würfeln gibt.
• Beim Münze werfen wäre es 2, da nur Kopf und Zahl möglich sind

Aufgabe zum Laplace Experiment

Klickt auf einblenden, um die Lösung der Aufgabe zu sehen.

Beispiel zum Laplace Experiment

Ihr werft 2 mal eine Münze und sollt folgende Wahrscheinlichkeiten berechnen:

• Ihr werft mindestens  einmal Kopf (Ereignis A), also entweder einmal oder zweimal
• Ihr werft zweimal Kopf (Ereignis B)

Das berechnet ihr so:

Lösung zu 1.

• Aufgeschrieben wäre es (K steht für Kopf und Z für Zahl): A={ZK; ZZ; KZ} -> es sind 3 Möglichkeiten
• oder, um es zu berechnen, schaut euch noch mal unser Kapitel Anzahl der Möglichkeiten berechnen  an.
• das macht man, entweder, indem man sich alle Möglichkeiten aufschreibt -> Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten.
• oder, indem man die Anzahl an Möglichkeiten pro Wurf (also 2) hoch die Anzahl an Würfen (hier auch 2) nimmt -> Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten beim zweifachen Münzwurf.
• danach teilt man die Anzahl an Ergebnissen, die eure Bedingung erfüllen, durch die gesamt mögliche Anzahl an Ergebnissen, dann erhaltet ihr für die Wahrscheinlichkeit:

Wie ihr seht, ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werfen bei 75%. Alternativ könnt ihr auch einfach die Wahrscheinlichkeit das genau 1 mal Kopf raus kommt (50%) mit der Wahrscheinlichkeit das genau 2 mal Kopf raus kommt (25%) addieren. Denn das sind die beiden Möglichkeiten, dass mindestens einmal Kopf dabei ist.

Lösung zu 2.

Geht wie oben vor dann erhaltet ihr:

Passende Themen

• Anzahl der Möglichkeiten ausrechnen (Kombinatorik)
• Ergebnis, Mächtigkeit und Ergebnismenge
• Ereignis, Mächtigkeit und Ereignismenge
• Prozentrechnung
• Zufallsexperiment

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Laplace-Experiment – so verstehst Du es einwandfrei

Ein Laplace-Experiment – im Mathematikunterricht begegnet man diesem Thema im Rahmen der Stochastik. Doch was versteht man eigentlich genau unter einem Laplace-Versuch ? Die Antwort zu dieser Frage findest Du schnell und einfach im folgenden Artikel.

Im Folgenden siehst Du ,…

– … was überhaupt ein Laplace-Experiment ist, – … was Nicht-Laplace-Experimente dementsprechend sind, – … Beispiele zu Laplace-Experimenten – … und schließlich Aufgaben zu Laplace-Experimenten zum Üben.

Laplace-Experiment Definition – so klappt das ganz simpel

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch mit besonderen Bedingungen. Es wurde nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt, der sich in seinem Leben u.a. mit der Wahrscheinlichkeitstheorie auseinandergesetzt hat. Welche Bedingungen ein Laplace-Versuch  erfüllen muss, lernst Du im folgenden Kapitel.

Was ist ein Laplace-Experiment?

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ereignisse, die eintreten können, genau dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen solcher Zufallsexperimente berechnen zu können, verwendet man die sogenannte “Laplace-Formel”.

Laplace-Formel:

Nicht-Laplace-Experimente

Nicht-Laplace-Experimente sind hingegen Zufallsexperimente, bei denen alle Ereignisse, die auftreten können, nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiele für solche Nicht-Laplace-Experimente sind das Werfen einer Reißzwecke oder eines gezinkten Würfels.

Laplace-Experiment Beispiele – Schritt für Schritt erklärt

Betrachten wir zuerst einen normalen Würfel, der einmal geworfen wird.

Dieser Würfel hat sechs komplett gleich große Seiten mit sechs verschiedenen Zahlen.

Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl bei einem Wurf zu würfeln, liegt also immer bei einem Sechstel .

Somit liegt in diesem Fall ein Laplace-Experiment vor.

Was wäre aber, wenn man möchte, dass ein bestimmtes Ereignis auftritt?

Wie hoch wäre beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl bei einmaligem Wurf gewürfelt wird, die höchstens drei beträgt?

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, verwendet man ebenfalls die Laplace-Formel:

Es gibt drei mögliche Ereignisse, die die Bedingung der Aufgabenstellung erfüllen. Entweder wird eine 1, eine 2 oder eine 3 gewürfelt.

Das heißt, es gibt genau drei gewünschte Ereignisse, die auftreten können. Die Anzahl der möglichen Ereignisse beträgt hier immer sechs.

Der Quotient wird nach der Laplace-Formel gebildet und schon man hat das gewünschte Ergebnis.

Betrachten wir nun eine Münze, die einmal geworfen wird. Diese Münze hat zwei genau große Seiten mit je einem Symbol (“Kopf” oder “Zahl”).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Seite nach einem Münzwurf oben sichtbar ist, beträgt immer 50 %. Hier liegt daher auch ein Laplace-Experiment vor.

Wenn man bspw. nach einem Münzwurf “Kopf” oben sichtbar haben will, nutzt man zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit wieder die Laplace-Formel.

Es gibt hier nur ein gewünschtes Ereignis, nämlich das, dass “Kopf” fällt.

Die Anzahl der möglichen Ereignisse ist hier immer zwei. Man bildet wieder den Quotienten und erhält das gewünschte Ergebnis.

Ein weiteres, etwas komplexeres, Beispiel ist das Casino Spiel Roulette. Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Roulette Spielfeld ist genau gleich groß.

Wenn du auf eine bestimmte Farbe setzen würdest ist die 0 eine Besonderheit, weil sie die einzige Zahl ist ohne Farbe und damit immer ein Gewinn für das Casino darstellt.

Laplace-Experiment Aufgaben zum schnellen Vertiefen

Falls Du Deine erlernten Kenntnisse zum Thema “ Laplace-Experiment ” vertiefen möchtest, kannst Du hier anhand dieser Aufgaben dein erlerntes Wissen auf die Probe stellen.

Mithilfe der Lösungen kannst Du Deine Ergebnisse durch einen Klick auf das jeweilige Plus überprüfen. Weitere Aufgaben findest Du ansonsten im Link.

Aufgabe 1: Entscheide, ob es sich bei den folgenden Zufallsexperimenten um ein Laplace-Versuch  handelt!

a) Das Werfen eines normalen Würfels

Ja, da die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses beim Wurf eines normalen Würfels immer ca. 16,67 % beträgt.

b) Das Werfen einer Reißzwecke

Nein, da die Wahrscheinlichkeiten, dass die Reißzwecke nach dem Wurf auf dem Kopf oder auf der Seite landet, nicht gleich sind.

c) Das Drehen eines Glücksrads mit drei unterschiedlich großen Feldern

Nein, da es drei unterschiedlich große Felder gibt und somit die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten dieser Felder nicht gleich sein können.

d) Das Drehen eines Glücksrads mit drei gleich großen Feldern

Ja, da die Felder gleich groß und somit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der verschiedenen Felder gleich sind.

e) Das Werfen einer Münze

Ja, da die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses (“Kopf” oder “Zahl”) beim Wurf einer Münze immer 50 % beträgt.

f) Das Werfen einer gezinkten Münze

Nein, da die Münze gezinkt ist und somit die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten eines Ereignisses (“Kopf” oder “Zahl”) nicht gleich sind.

Aufgabe 2: Du würfelst einmal einen normalen Würfel.

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine 5 würfelst?

1 — = P(5) (Anwendung der Laplace-Formel) 6

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine Zahl kleiner als 3 würfelst?

2      1 — = — = P (x < 3) (Anwendung der Laplace-Formel) 6      3

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine Zahl würfelst, die mindestens 4 beträgt?

3      1 — = — = P (x ≥ 4) (Anwendung der Laplace-Formel) 6      2

d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine 2 oder eine 6 würfelst?

2      1 — = — = P (x = {2,6}) (Anwendung der Laplace-Formel) 6      3

e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du keine 1 würfelst?

5 — = P (x ≠ 1) (Anwendung der Laplace-Formel) 6

f) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du keine 3 oder 4 würfelst?

4      2 — = — = P (x ≠ {3,4}) (Anwendung der Laplace-Formel) 6      3

Laplace-Versuch: Häufig gestellte Fragen / FAQ

Was ist ein laplace-experiment und was nicht.

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem alle möglichen Ereignisse genau die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Nicht-Laplace-Experimente sind Zufallsversuche, bei denen alle möglichen Ereignisse nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit haben wie bspw. der Wurf einer Reißzwecke oder eines gezinkten Würfels.

Ist ein Münzwurf ein Laplace-Experiment?

Die möglichen Ereignisse beim Münzwurf sind, dass entweder “Kopf” oder “Zahl” geworfen wird. Beide Ereignisse können mit derselben Wahrscheinlichkeit von 50 % eintreten. Daher handelt es sich hier um ein Laplace-Experiment.

Ist ein Glücksrad ein Laplace-Experiment?

Nur wenn die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten aller Felder auf dem Glücksrad gleich sind, handelt es sich bei einem Glücksrad um ein Laplace-Experiment.

Wie berechnet man die Laplace-Wahrscheinlichkeit?

Um die Wahrscheinlichkeit von Laplace-Versuchen zu bestimmen, nutzt man die Laplace-Formel. Dabei wird die Anzahl der gewünschten Ereignisse durch die Anzahl der möglichen Ereignisse geteilt und man erhält die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis.

Was ist die Laplace-Bedingung?

Die Laplace-Bedingung tritt ein, wenn die Standardabweichung größer als 3 ist. Die Standardabweichung dient als Maß dafür, wie weit die jeweiligen Zahlen verteilt bzw. wie weit die jeweiligen Messwerte durchschnittlich von dem Erwartungswert/Mittelwert entfernt sind.

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Mathe, 8. Klasse

Laplace-experimente.

Arbeitsblätter mit Übungen und Aufgaben zum Thema Laplace-Experimente für Mathe in der 8. Klasse am Gymnasium - mit Lösungen!

Was ist ein Zufallsexperiment?

Experiment, deren Ergebnis zufällig passieren, also nicht vorhersagbar sind, nennt man Zufallsexperimente. Beispiele hierfür sind das Werfen eines Würfels oder einer Münze. Alle möglichen Ergebnisse eines solchen Zufallsexperimentes fasst man in der Ergebnismenge Ω zusammen.

Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes sind:

• Es wird genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten.
• Es lässt sich nicht vorhersagen, welches davon eintreten wird.  

Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments lassen sich durch ein Baumdiagramm übersichtlich darstellen.

Was ist der Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis?

Werden verschiedene Ergebnisse eines Experiments zusammengefasst, so erhält man ein Ereignis E . Alle Ergebnisse, die zum Ereignis E gehören, nennt man dann günstige Ergebnisse . Zum Beispiel kann man beim Werfen eines Würfels das Ereignis E „nur gerade Zahlen“ betrachten: E = {2, 4, 6}. Die Ergebnisse 2, 4 und 6 sind dann für das Ereignis E günstige Ergebnisse.

Wie kombiniert man verschiedene Ereignisse?

Sollen zwei Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig eintreten, so schreibt man E1 ∩ E2 („E1 geschnitten mit E2“). Sollen Ereignis E1 oder E2 oder beide eintreten, so schreibt man E1 ∪ E2 („E1 vereinigt mit E2“).

Dies kann man sehr anschaulich bildlich mit einem Mengendiagramm darstellen:

Welche Spezialfälle gibt es für Ereignisse?

• Ein Ereignis, für das alle Ergebnisse günstig sind, heißt sicheres Ereignis .
• Ein Ereignis, welches nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis .
• Alle für ein Ereignis E ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis E   von E.

Was sind relative und absolute Häufigkeit?

Man unterscheidet dabei die absolute von der relativen Häufigkeit von Ergebnissen. Die absolute Häufigkeit bezeichnet die Anzahl, wie oft ein Ergebnis eintritt. Die relative Häufigkeit beschreibt, wie oft ein Ergebnis im Verhältnis zur Gesamtzahl der Durchführungen des Experimentes auftritt. Sie wird oft in Prozent oder als Dezimalbruch angegeben:

Am Beispiel des 10-maligen Werfens eines Würfels lässt sich dies verdeutlichen:

Absolute Häufigkeit: Wie oft werfe ich dabei eine 6? Relative Häufigkeit: Wie oft werfe ich im Verhältnis zu 10 Würfen eine 6

Zu Erfassung des Zufallsexperimentes kann eine Strichliste verwendet werden. Diese sieht für das obige Experiment zum Beispiel so aus:

Was ist eine „Wahrscheinlichkeit“?

Bei Zufallsexperimenten kann man das genaue Ergebnis zwar nicht vorhersagen, aber man kann eine Wahrscheinlichkeit angeben, wie hoch die Chance ist, dass ein Ereignis eintritt.

Zum Beispiel erwartet man beim Werfen eines fairen Würfels, dass in ungefähr 1/6 aller Würfe die Augenzahl vier auftritt.

• Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die oft in Prozent angegeben wird
• Eine Wahrscheinlichkeit von 0% bedeutet, dass ein Ergebnis nicht eintreten kann
• Eine Wahrscheinlichkeit von 100% bedeutet, dass ein Ergebnis sicher eintritt

Was besagt das Empirische Gesetz der großen Zahlen?

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, stabilisieren sich für jedes Ergebnis die relativen Häufigkeiten auf einen bestimmten Wert. Man erwartet, dass dieser Wert nahe bei der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses liegt.

Was beschreibt das Zählprinzip beim Baumdiagramm?

Baumdiagramme helfen, Situationen übersichtlich darzustellen.

Das Zählprinzip besagt:

Die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten entspricht dem Produkt der Anzahlen der verschiedenen Möglichkeiten in den einzelnen Stufen beim Baumdiagramm.

Beispiel: Auf einer Speisekarte gibt es 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 3 Nachspeisen zur Auswahl. Wie viele verschiedene dreigängige Menüs lassen sich somit zusammenstellen?

Es gibt insgesamt 2·3·3 = 18 verschiedene Möglichkeiten!

Was ist ein Laplace-Experiment?

Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, nennt man Laplace-Experimente. Sind bei einem Laplace-Experiment n verschiedene Ergebnisse möglich, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis1n.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E kann bei Laplace-Experimenten wie folgt berechnet werden:

• Begriffe wie Ergebnis, Ereignis, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Laplace-Experiment kennen
• Passende Baumdiagramme erstellen und interpretieren
• Wahrscheinlichkeiten berechnen
• Mit verschiedenen Diagrammen umgehen
• Anwendungsbeispiele für Zufallsexperimente verstehen und kennen
• Beispiele nennen und erläutern
• Baumdiagramme und Vierfeldertafeln erstellen
• Rechnungen mit Wahrscheinlichkeiten durchführen
• Säulendiagramme erstellen

Kostenlose Arbeitsblätter zu Laplace-Experimenten

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Laplace Experiment

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Laplace-Experiment

Einführung:

Ein Zufallsversuch bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, heißt Laplace-Experiment

Beispiel für Laplace-Experimente:

• Das Werfen einer Münze.
• Würfeln mit einem Würfel.
• Drehen an einem Glücksrad mit gleich großen Zonen.

Beispiel für keine Laplace-Experimente:

• Zeihen aus einer Urne mit \(5\) roten und \(4\) blauen Kugeln.
• Drehen an einem Glücksrad mit unterschiedlich großen Zonen.

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

Bezeichnungen:

• \(P(E)=\) Wahrscheinlichkeit vom Ereigniss E
• \(|E|=\) Anzahl der Elementarereignisse bei denen \(E\) eintritt
• \(|\Omega|=\) Anzahl aller Möglichen Elementarereignisse

Liegt ein Laplace-Experiment vor, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(P(E)\), indem man den Quotienten aus \(|E|\) und \(|\Omega|\) berechnet. \(P(E)\) \(=\frac{|E|}{|\Omega|}\)

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet sich über \(P(E)\) \(=\frac{|E|}{|\Omega|}\)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen eines Würfels eine ungerade Zahl zu würfeln ?

Es gibt drei Elementarereignisse die zutreffen \(\{1,3,5\}\Rightarrow |E|=3\).

Insgesamt gibt es die Ereignisse \(\{1,2,3,4,5,6\}\Rightarrow |\Omega|=6\).

Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln: \(P(E)\) \(=\frac{|E|}{|\Omega|}\) \(=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

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• Laplace-Experimente
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Was sind Laplace-Experimente?

Wir betrachten dazu folgendes Beispiel:

Der Mensadienst für die nächste Woche wird unter allen Achtklässlern ausgelost. Klasse 8a hat , Klasse 8b und Klasse 8c Schüler. Leider hat der Stufenkoordinator nicht beachtet, dass die Klasse 8b den Mensadienst nicht übernehmen kann, da sie zu spät mit dem Bus vom Sportunterricht zurückkommt. Außerdem können weitere Schüler keinen Mensadienst übernehmen, weil sie eine Orchesterprobe haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste ausgeloste Schüler gar keinen Mensadienst übernehmen kann?

Lösung zu Aufgabe 1

Die achte Klasse hat insgesamt Schüler. Die Anzahl der Schüler, die den Mensadienst nicht übernehmen können ist . Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgeloster Schüler den Mensadienst nicht übernehmen kann, zu

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ist?
• das Produkt der Augenzahlen gerade ist?
• die Differenz der Augenzahlen gleich drei ist?

Lösung zu Aufgabe 2

• : Die Augensumme ist eine Primzahl. Es gilt: Also .
• : Das Produkt der Augenzahlen ist gerade. : Das Produkt der Augenzahlen ist ungerade.
• : Die Differenz der Augenzahlen ist gleich drei. Also .

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es

• eine Herz-Karte (H) ist?
• eine Dame (D) ist?
• eine Herz-Karte (H) oder eine Dame (D) ist?

Lösung zu Aufgabe 3

• Es befinden sich 13 Herz-Karten im Deck, damit ist
• Es befinden sich 4 Damen im Deck, damit ist
• Es gibt insgesamt 13 Herz-Karten im Deck. In diesen ist schon eine Dame enthalten. Es gibt daher noch 3 weitere Damen, die noch nicht gezählt wurden. Insgesamt gibt es also 16 "günstige"Karten im Deck. Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
• die Summe der Augenzahlen größer als 7 ist?
• das Produkt der Augenzahlen größer als 16 ist?
• zwei verschiedene Zahlen gewürfelt werden?

Lösung zu Aufgabe 4

• : Die Augensumme ist größer als 7. Es gilt: Also .
• : Das Produkt der Augenzahlen ist größer als 16. Es gilt: Also:
• : Es werden zwei verschiedene Zahlen gewürfelt. : Es wird ein Pasch gewürfelt.